Introduzione alla probabilità

Prima di procedere con lo studio del RL facciamo una breve introsuzione al calcolo probabilitico.

Lezione https://www.youtube.com/watch?v=o9Rc1pCYaHo&list=PLMee1hSjLKdAL16E-7EzqHXsGOgzo8iro&index=23

Cosa significa aleatorio? (sinonimo di casuale o stocastico)

E' un osservazione di un fenomeno il cui risultato non è determinabile a priori. (es. le previsioni del tempo, o il valore di un titolo azionario, o il lancio di un dado)

Pur non essendo l'esito sicuro dell'informazione si può comunque estrapolare, per es. nel lancio del classico otterremo un valore intero da 1 a 6 non 3,8 in virtù della tipologia del fenomeno.

La descrizione matematica che permette di affrontare questa tipologia di problemi si chiama probabilità.

Spazio campionario

Nell'ambito di un esperimento questo "spazio campionario", rappresntato dal simbolo Ω (omega),  contiene tutti gli esiti possibili dell'evento che stiamo esaminando. Es. evento lancio di un dado, lo spazio compionario conterrà tutti gli esiti possibili del lancio del dato, quindi l'insime dei numeri possibili da 1 a 6. -> Ω = {1,2,3,4,5,6) 

Non sempre però lo spazio campionario è un numero finito, es. il numero di accessi ad un sito web, in questo caso è l'insieme di tutti i numeri naturali, es. Ω = N0 (dove N0 è l'insieme dei numeri naturali)

Se il numero non è discreto nel caso in cui la misurazione è contina allora l'intervallo è omega comrepnde tutti i valori da zero a infinito, ovvero: Ω = [0, +∞)

Quindi esistono tre tiologie di spazi campionari:

1. discreto finito
2. discreto inifinito
3. continuo

Modello probabilistico

Rappresenta la probabilità (o fiducia) che si verifichino i valori dello spazio campionario.

Es. quale è la probabilità che il numero ottenuto con il dado sia pari. (2,4,6) o la probabilità che il numero di accessi al sito web sia minore di 100.

Il RL si occupa dello spazio campionario finito. (caso 1)

Definizione: la probabilità su tutto lo spazio campionario è sempre 1. (es, quale è la probabilità che lanciando un dado esca 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 ? è il 100% ovvero 1)  P(Ω) = 1. Invece la probabilità dell'insieme vuoto è zero.

Definizione: I sottoinsimi dello spazio campionario sono detti eventi.  es. nel dato il sottoinsieme (evento) 1 potrebbe essere P {1,2} un altro sottoinsieme potrebbe essere P{3,4,5) e così via. Vien da se che Ω contiene tutti gli eventi possibili, NB: tutto questo vale quando gli eventi (sottoinsiemi) sono disgiunti, ovvero non si intersecano).

Suggerimento, pensiamo alla probabilità di un insieme come all'area di un cerchio, nel caso di insiemi disgiunti la probabilità dei due sottoinsieme è semplicemente la somma, se invece i due sottoinsiemi si intersecano allora è la somma delle due probabilità meno la probabilità della loro intersezione.

Densità

Data una probabilità P su uno spazio finito e numerabile Ω, possiamo associare a P una funzione p detta densità, definita su omega valori [0,1]. Quindi la densità è definita SOLO sugli elementi di omega.

La probabilità dell'insieme che contiene il singolo elemento è funzione del singolo elemento. es. nel lancio del dadi la probabilità dell'insieme P({1,2,3}) è la somma delle probabilità dei singoli elementi che indicheremo con p minuscola ovvero: P({1,2,3})= p{(1)} +p{(2) }+ p{(3)}

ATTENZIONE: con P maiuscola di indica la probabilità mentre con la p minuscola si indica la funzione che resituisce la probabilità. Per es. la densità definita sullo spazio campionario del lancio del dado, P: {Ω} -> [0,1] mentre la densità di ogni elemento di Ω è p(1) = 1/6... fino a p(6)= 1/6

Altro esempio

Esperimento Bernulliano

un esperimento bernulliano è una variabile che può indicare successo o non successo, è una varibile booleana. La variabile che indica la proabilità di successo è P mentre quella che indica l'insuccesso è (1-P), insieme omega è quindi Ω = {successo, insuccesso} o Ω = {1,0}

Esempio: qual'è la probabilità di ottenere un successo alla K-esima volta che facciamo un esperimento. (es. alla 10a volta)

ciò significa che per i primi 9 lanci non deve verificarsi il successo (1-P) e al decimo deve valere P. Per i primi 9 lanci le probabiltià si devono moltiplicare (1-P)*(1-P)*(1-P)*(1-P)*(1-P)*(1-P)*(1-P)*(1-P)*(1-P)*P = exp((1-P),K-1)*P